問題は、関数に関するいくつかの小問から構成されています。 * 比例関係 $y = ax^2$ について、$a$ を求めたり、$x$ の値に対応する $y$ の値を求めたり、変化について考察したりします。 * 与えられたグラフから、関数 $y = 2x^2$ のグラフを選び、係数 $a$ が正の場合のグラフの向きと、$a$ の絶対値とグラフの開き方の関係を選びます。 * 関数 $y = 3x^2$ について、変化の割合を求めたり、$x$ の変域に対する $y$ の変域を求めたりします。

1. 問題の内容

問題は、関数に関するいくつかの小問から構成されています。

* 比例関係 $y = ax^2$ について、$a$ を求めたり、$x$ の値に対応する $y$ の値を求めたり、変化について考察したりします。

* 与えられたグラフから、関数 $y = 2x^2$ のグラフを選び、係数 $a$ が正の場合のグラフの向きと、$a$ の絶対値とグラフの開き方の関係を選びます。

* 関数 $y = 3x^2$ について、変化の割合を求めたり、$x$ の変域に対する $y$ の変域を求めたりします。

2. 解き方の手順

[1]

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例するので、$y = ax^2$ と表せます。$x = 2$ のとき $y = -8$ なので、$-8 = a(2^2)$ を解きます。

$-8 = 4a$

$a = -2$

よって、$y = -2x^2$

(2) $y = -2x^2$ に $x = -3$ を代入すると、$y = -2(-3)^2 = -2(9) = -18$

(3) $y = ax^2$ において、$x$ が4倍になると、$y = a(4x)^2 = a(16x^2) = 16ax^2$ となり、$y$ の値は16倍になります。

[2]

関数 $y = 2x^2$ のグラフは、原点を頂点とする上に凸のグラフであり、これはグラフ(i)にあたります。

$y = ax^2$ のグラフは、$a > 0$ のとき、上に開いたグラフになります。

$a$ の絶対値が小さいほど、グラフの開き方は大きくなります。

[3]

(1) $y = 3x^2$ について、$x$ が1から2まで増加するときの変化の割合は、

$\frac{y(2) - y(1)}{2 - 1} = \frac{3(2^2) - 3(1^2)}{1} = \frac{12 - 3}{1} = 9$

(2) $x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y = 3x^2$ の変域を求めます。$x = -1$ のとき $y = 3(-1)^2 = 3$、$x = 2$ のとき $y = 3(2^2) = 12$。また、$x = 0$ のとき $y = 0$ なので、$0 \le y \le 12$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $y = -2x^2$

(2) $y = -18$

(3) 16

[2]

ク: 1

ケ: 5

コ: 8

[3]

(1) 9

(2) $0 \le y \le 12$