2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、$a > 0$ の条件のもとで場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -x^2 + 6x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、$a > 0$ の条件のもとで場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x) + 1$

$f(x) = -(x^2 - 6x + 9) + 9 + 1$

$f(x) = -(x - 3)^2 + 10$

これにより、関数 $f(x)$ は $x = 3$ で最大値10をとる上に凸な放物線であることがわかります。

(2) 軸 $x = 3$ が区間 $0 \le x \le a$ に含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $0 < a < 3$ のとき：

区間 $0 \le x \le a$ において $x$ が増加すると $f(x)$ も増加するため、最大値は $f(a) = -a^2 + 6a + 1$、最小値は $f(0) = 1$ です。

(ii) $a = 3$ のとき：

最大値は $f(3) = 10$、最小値は $f(0) = 1$ です。

(iii) $a > 3$ のとき：

区間 $0 \le x \le a$ に軸 $x = 3$ が含まれるので、最大値は $f(3) = 10$ となります。

最小値を求めるために、$f(0)$ と $f(a)$ を比較します。

$f(0) = 1$

$f(a) = -a^2 + 6a + 1$

$f(a) - f(0) = -a^2 + 6a = a(-a + 6)$

$3 < a < 6$ のとき、$f(a) > f(0)$ なので、最小値は $f(0) = 1$ です。

$a = 6$ のとき、$f(a) = f(0) = 1$ なので、最小値は $1$ です。

$a > 6$ のとき、$f(a) < f(0)$ なので、最小値は $f(a) = -a^2 + 6a + 1$ です。

(3) まとめます。

3. 最終的な答え

(i) $0 < a < 3$ のとき：

最大値： $-a^2 + 6a + 1$

最小値： $1$

(ii) $a = 3$ のとき：

最大値： $10$

最小値： $1$

(iii) $3 < a \le 6$ のとき：

最大値： $10$

最小値： $1$

(iv) $a > 6$ のとき：

最大値： $10$

最小値： $-a^2 + 6a + 1$