$x, y, z$ の方程式 $x + y + z = 11$ の解のうち、$x, y, z$ がすべて整数である組について、以下の二つの条件を満たすものがそれぞれ何個あるかを求める問題です。 (1) $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ のとき (2) $x \geq 2, y \geq 1, z \geq 0$ のとき

1. 問題の内容

$x, y, z$ の方程式 $x + y + z = 11$ の解のうち、$x, y, z$ がすべて整数である組について、以下の二つの条件を満たすものがそれぞれ何個あるかを求める問題です。

(1) $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ のとき

(2) $x \geq 2, y \geq 1, z \geq 0$ のとき

2. 解き方の手順

(1) $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ のとき

これは、重複組み合わせの問題です。

$x, y, z$ は非負整数なので、$x + y + z = 11$ を満たす解の個数は、11個の区別できないものを3つの区別できる箱（$x, y, z$）に入れる方法の数に等しくなります。

これは、 $11 + 3 - 1 \choose 3 - 1$ で計算できます。

${n + k - 1 \choose k - 1} = {n + k - 1 \choose n}$ の公式を利用します。

この場合、$n = 11$ で $k = 3$ なので、

${11 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = {13 \choose 2} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$

(2) $x \geq 2, y \geq 1, z \geq 0$ のとき

$x' = x - 2$, $y' = y - 1$ とおくと、$x' \geq 0$, $y' \geq 0$ となります。

$x = x' + 2$, $y = y' + 1$ を $x + y + z = 11$ に代入すると、

$(x' + 2) + (y' + 1) + z = 11$

$x' + y' + z = 11 - 2 - 1$

$x' + y' + z = 8$

$x', y', z$ は非負整数なので、$x' + y' + z = 8$ を満たす解の個数は、8個の区別できないものを3つの区別できる箱（$x', y', z$）に入れる方法の数に等しくなります。

これは、 $8 + 3 - 1 \choose 3 - 1$ で計算できます。

${n + k - 1 \choose k - 1} = {n + k - 1 \choose n}$ の公式を利用します。

この場合、$n = 8$ で $k = 3$ なので、

${8 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = {10 \choose 2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 9 = 45$

3. 最終的な答え

(1) 78個

(2) 45個