数列の和を求める問題です。 $2\cdot3 + 4\cdot4 + 6\cdot5 + \cdots + 2n(n+2)$ の和を求めます。

## (2) の問題

1. 問題の内容

数列の和を求める問題です。

$2\cdot3 + 4\cdot4 + 6\cdot5 + \cdots + 2n(n+2)$

の和を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = 2k(k+2) = 2(k^2 + 2k) = 2k^2 + 4k$

となります。

よって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 4k)$ となります。

和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 4k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k$

$= 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + 2n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+7)}{3}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

数列の和を求める問題です。

$(-1)\cdot3 + 0\cdot4 + 1\cdot5 + \cdots + (n-2)(n+2)$

の和を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $a_k$ とすると、

$a_k = (k-2)(k+2) = k^2 - 4$

となります。

ここで、$k$ は $-1$ が $k=1$ に対応するように、 $k=1$ から $n$ までの和を考えます。

よって、求める和は $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4)$ となります。

和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 4$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 24n}{6}$

$= \frac{n((n+1)(2n+1) - 24)}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - 24)}{6}$

$= \frac{n(2n^2 + 3n - 23)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2 + 3n - 23)}{6}$