$a$は2でない定数とする。$x$についての3つの不等式 $\frac{1}{3}x + 1 > \frac{3x + 5}{6}$ ...① $2x - 4 > ax - a^2$ ...② $2x - 3 > x - 4$ ...③ がある。 (1) 不等式①を解け。 (2) $a<2$のとき、不等式②を解け。 (3) 不等式①と不等式③を同時に満たす$x$の範囲が、不等式②の解に含まれるように、定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は2でない定数とする。$x$についての3つの不等式

$\frac{1}{3}x + 1 > \frac{3x + 5}{6}$ ...①

$2x - 4 > ax - a^2$ ...②

$2x - 3 > x - 4$ ...③

がある。

(1) 不等式①を解け。

(2) $a<2$のとき、不等式②を解け。

(3) 不等式①と不等式③を同時に満たす$x$の範囲が、不等式②の解に含まれるように、定数$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$\frac{1}{3}x + 1 > \frac{3x + 5}{6}$

両辺に6をかける。

$2x + 6 > 3x + 5$

$2x - 3x > 5 - 6$

$-x > -1$

$x < 1$

(2) $a < 2$のとき、不等式②を解く。

$2x - 4 > ax - a^2$

$2x - ax > 4 - a^2$

$(2 - a)x > 4 - a^2$

$(2 - a)x > (2 - a)(2 + a)$

$a < 2$より、$2 - a > 0$であるから、両辺を$2 - a$で割ると

$x > \frac{(2 - a)(2 + a)}{2 - a}$

$x > a + 2$

(3) 不等式①と不等式③を同時に満たす$x$の範囲を求める。

不等式①は、$x < 1$

不等式③は、$2x - 3 > x - 4$

$2x - x > -4 + 3$

$x > -1$

したがって、不等式①と不等式③を同時に満たす$x$の範囲は$-1 < x < 1$

不等式②の解は、$x > a + 2$

$-1 < x < 1$が、$x > a + 2$に含まれるためには、$a + 2 \le -1$であればよい。

$a \le -1 - 2$

$a \le -3$

ただし、$a \neq 2$、$a<2$の条件があるので、$a \le -3$のみが答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$

(2) $x > a + 2$

(3) $a \le -3$