$a$を定数とする、$x$の2次関数 $y = x^2 - 2(a+2)x + a^2 + 16a - 5$ のグラフを$G$とする。グラフ$G$の軸の方程式を求め、区間 $0 \le x \le 6$ における最大値 $M$ を求める。さらに、$M$が最小となる$a$の値を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする、$x$の2次関数 $y = x^2 - 2(a+2)x + a^2 + 16a - 5$ のグラフを$G$とする。グラフ$G$の軸の方程式を求め、区間 $0 \le x \le 6$ における最大値 $M$ を求める。さらに、$M$が最小となる$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して軸の方程式を求める。

$y = x^2 - 2(a+2)x + a^2 + 16a - 5$

$y = (x - (a+2))^2 - (a+2)^2 + a^2 + 16a - 5$

$y = (x - (a+2))^2 - (a^2 + 4a + 4) + a^2 + 16a - 5$

$y = (x - (a+2))^2 + 12a - 9$

よって、グラフ$G$の軸の方程式は $x = a+2$ となる。

次に、$0 \le x \le 6$ における最大値 $M$ を場合分けして求める。

(i) $a+2 < 3$ すなわち $a < 1$ のとき、区間 $[0, 6]$ で単調増加なので、$x=6$ で最大となる。

$M = 6^2 - 2(a+2) \cdot 6 + a^2 + 16a - 5 = 36 - 12a - 24 + a^2 + 16a - 5 = a^2 + 4a + 7$

(ii) $a+2 \ge 3$ すなわち $a \ge 1$ のとき、$x=0$で最大となる。

$M = 0^2 - 2(a+2) \cdot 0 + a^2 + 16a - 5 = a^2 + 16a - 5$

したがって、$a < 1$ のとき $M = a^2 + 4a + 7$, $a \ge 1$ のとき $M = a^2 + 16a - 5$

(1) $M = 12$ となる $a$ の値を求める。

(i) $a < 1$ のとき $a^2 + 4a + 7 = 12$ より $a^2 + 4a - 5 = 0$

$(a+5)(a-1) = 0$ より $a = -5, 1$

$a < 1$ より $a = -5$

(ii) $a \ge 1$ のとき $a^2 + 16a - 5 = 12$ より $a^2 + 16a - 17 = 0$

$(a+17)(a-1) = 0$ より $a = -17, 1$

$a \ge 1$ より $a = 1$

よって、$M=12$ となる $a$ の値は $a = -5, 1$

(2) $M$ を $a$ の関数と考えるとき、$M$ が最小となる $a$ の値を求める。

$a < 1$ のとき $M = a^2 + 4a + 7 = (a+2)^2 + 3$

$a \ge 1$ のとき $M = a^2 + 16a - 5 = (a+8)^2 - 69$

$a < 1$ の範囲では、$a=-2$ のとき最小値3をとる。

$a \ge 1$ の範囲では、$a=1$のとき、$M=1^2 + 16\cdot 1 - 5 = 12$

$a = -2$ の場合、 $M = 3$

$a=1$の場合、$M=12$

$M$は、$a < 1$ の範囲で下に凸な放物線であり、頂点の $a$ 座標は $a = -2$ である。$a \ge 1$ の範囲で下に凸な放物線であり、$a=1$で$M=12$である。

したがって、$M$を最小にする $a$ の値は $a = -2$ であり、その時の最小値は $M = 3$ である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 4

エ: 7

オカ: 16

キ: 5

ク: -5

ケコ: 1

サシ: -2

ス: 3