$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$cos 2x$を$\cos x$を用いて表します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ であることを利用します。

与えられた方程式に代入すると、

$2\cos^2 x - 1 - 5\cos x + 3 = 0$

$2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

これを因数分解すると、

$(2t - 1)(t - 2) = 0$

したがって、$t = \frac{1}{2}, 2$

$t = \cos x$ なので、

$\cos x = \frac{1}{2}, 2$

$-1 \le \cos x \le 1$ であるから、$\cos x = 2$ は解なし。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす$x$を、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で求めます。

$\cos x = \frac{1}{2}$となる$x$は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$