不等式 $2\cos 2x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x + \sqrt{3} > 2$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $2\cos 2x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x + \sqrt{3} > 2$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$ を $\sin x$ で表します。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、不等式は

$$2(1 - 2\sin^2 x) - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x + \sqrt{3} > 2$$

となります。これを整理すると、

$$2 - 4\sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x + \sqrt{3} > 2$$

$$-4\sin^2 x - 2(\sqrt{3} - 1)\sin x + \sqrt{3} > 0$$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$4\sin^2 x + 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} < 0$$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、

$$4t^2 + 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} < 0$$

この2次不等式を解くために、左辺を因数分解します。

$$4t^2 + 2\sqrt{3}t - 2t - \sqrt{3} < 0$$

$$2t(2t + \sqrt{3}) - (2t + \sqrt{3}) < 0$$

$$(2t - 1)(2t + \sqrt{3}) < 0$$

したがって、$-\frac{\sqrt{3}}{2} < t < \frac{1}{2}$ となります。

$t = \sin x$ に戻すと、$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$ となります。

$-\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(-\frac{\pi}{3})$ であり、$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$ であるため、

$-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{4\pi}{3}$ となります。

一般解で答えるならば、$2n\pi - \frac{\pi}{3} < x < 2n\pi + \frac{\pi}{6}$ または $2n\pi + \frac{5\pi}{6} < x < 2n\pi + \frac{4\pi}{3}$ (ただし、$n$ は整数) となります。もし、$0 \le x < 2\pi$ という範囲で答えるのであれば、 $-\frac{\pi}{3}$ と $\frac{4\pi}{3}$ をそれぞれ、$2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ と $2\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ で置き換えることはしないので、$0 \le x < 2\pi$ の範囲では、 $-\frac{\pi}{3}$ は範囲に含まれないので、$\frac{11\pi}{6}$ より少し大きい値から始まります。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲における解は、

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < x < \pi$

そして、$x$ が第三象限と第四象限の時$\sin x$ が負になるので、

$\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

なので、$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ である区間と、$\frac{11\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$の区間です。

3. 最終的な答え

$2n\pi - \frac{\pi}{3} < x < 2n\pi + \frac{\pi}{6}$ または $2n\pi + \frac{5\pi}{6} < x < 2n\pi + \frac{4\pi}{3}$ （$n$ は整数）