2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ (定義域 $1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

## 問題 (3)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ (定義域 $1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

この関数の軸は $x = 3$ である。

定義域 $1 \le x \le 4$ において、軸 $x=3$ が含まれるため、$x=3$ で最小値をとる。

問題文より、最小値は$-2$であるから、

$-9 + a = -2$

$a = 7$

次に、最大値を求める。定義域の両端 $x = 1$ と $x = 4$ での $y$ の値を比較する。

$x = 1$ のとき、 $y = 1^2 - 6(1) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

$x = 4$ のとき、 $y = 4^2 - 6(4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$

$x=1$のとき、$y=2$、$x=4$のとき、$y=-1$であるから、最大値は$2$となる。

3. 最終的な答え

$a = 7$

最大値 $= 2$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ (定義域 $-2 \le x \le 1$) の最大値が $9$ であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

この関数の軸は $x = -1$ である。

定義域 $-2 \le x \le 1$ において、軸 $x=-1$ が含まれるため、$x=-1$ で最小値をとる。

最大値を考える。定義域の両端 $x = -2$ と $x = 1$ での $y$ の値を比較する。

$x = -2$ のとき、 $y = (-2)^2 + 2(-2) + 2a = 4 - 4 + 2a = 2a$

$x = 1$ のとき、 $y = 1^2 + 2(1) + 2a = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

$x=1$のときの方が$y$の値が大きいので、$x=1$のときに最大値をとる。

$3 + 2a = 9$

$2a = 6$

$a = 3$

次に、最小値を求める。

$x = -1$ のとき、 $y = (-1 + 1)^2 - 1 + 2(3) = -1 + 6 = 5$

3. 最終的な答え

$a = 3$

最小値 $= 5$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$軸と接するということは、2次方程式 $x^2 - (a-1)x + 4 = 0$ が重解を持つということである。

したがって、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = 0$

$(a-1)^2 - 16 = 0$

$(a-1)^2 = 16$

$a - 1 = \pm 4$

$a = 1 \pm 4$

$a = 5, -3$

3. 最終的な答え

$a = 5, -3$