2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ （定義域 $1 \le x \le 4$）の最小値が -2 であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

## 問題 (3)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ （定義域 $1 \le x \le 4$）の最小値が -2 であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

この関数の頂点の $x$ 座標は $x = 3$ であり、定義域 $1 \le x \le 4$ に含まれます。したがって、$x = 3$ で最小値を取ります。

最小値が -2 であることから、

$-9 + a = -2$

$a = 7$

したがって、2次関数は $y = (x - 3)^2 - 2$ となります。

次に、最大値を求めます。

定義域の両端 $x = 1$ および $x = 4$ での $y$ の値を計算します。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 3)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = 4$ のとき、$y = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

したがって、最大値は $x = 1$ のときの $y = 2$ です。

3. 最終的な答え

定数 $a$ の値は 7 であり、このときの最大値は 2 である。

## 問題 (4)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ （定義域 $-2 \le x \le 1$）の最大値が 9 であるとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

この関数の頂点の $x$ 座標は $x = -1$ であり、定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれます。

定義域の両端 $x = -2$ および $x = 1$ での $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) + 2a = 4 - 4 + 2a = 2a$

$x = 1$ のとき、$y = (1)^2 + 2(1) + 2a = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

$3 + 2a > 2a$ なので、$x = 1$ で最大値 $3 + 2a$ を取ります。

最大値が 9 であることから、

$3 + 2a = 9$

$2a = 6$

$a = 3$

したがって、2次関数は $y = (x + 1)^2 - 1 + 2(3) = (x + 1)^2 + 5$ となります。

次に、最小値を求めます。頂点の $x$ 座標 $x = -1$ は定義域に含まれるので、$x = -1$ で最小値を取ります。

$y = (-1 + 1)^2 + 5 = 0 + 5 = 5$

3. 最終的な答え

定数 $a$ の値は 3 であり、このときの最小値は 5 である。

## 問題 (5)

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (a - 1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と接するということは、2次方程式 $x^2 - (a - 1)x + 4 = 0$ が重解を持つということです。

したがって、判別式 $D$ が 0 になる必要があります。

$D = b^2 - 4ac = (-(a-1))^2 - 4(1)(4) = (a - 1)^2 - 16$

$D = 0$ を解きます。

$(a - 1)^2 - 16 = 0$

$(a - 1)^2 = 16$

$a - 1 = \pm 4$

$a - 1 = 4$ のとき、$a = 5$

$a - 1 = -4$ のとき、$a = -3$

3. 最終的な答え

定数 $a$ の値は 5 または -3 である。