与えられた8つの問題のうち、問題(3), (4), (5), (6), (7), (8)を解き、分母の有理化、式の計算を行います。

1. 問題の内容

与えられた8つの問題のうち、問題(3), (4), (5), (6), (7), (8)を解き、分母の有理化、式の計算を行います。

2. 解き方の手順

(3) 分母を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$に$\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$をかけます。

$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$$

(4) 分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$に$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} \times \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{5+\sqrt{5}}{4}$$

(5) 分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$に$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{3-5} = \frac{3+2\sqrt{15}+5}{-2} = \frac{8+2\sqrt{15}}{-2} = -4-\sqrt{15}$$

(6) 式を計算します。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$に$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3\times2 + \sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 3}{18-3} = \frac{6+4\sqrt{6}+3}{15} = \frac{9+4\sqrt{6}}{15}$$

(7) 式を計算します。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$に$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$をかけ、$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$に$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$をかけます。

$$\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{3-2} + \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{3-2} = (3-2\sqrt{6}+2) + (3+2\sqrt{6}+2) = 5-2\sqrt{6} + 5+2\sqrt{6} = 10$$

(8) 式を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$に$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}$をかけ、$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$に$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{2}-1}{2-1} + \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2} = \sqrt{3}-1$$

3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{2}-1$

(4) $\frac{5+\sqrt{5}}{4}$

(5) $-4-\sqrt{15}$

(6) $\frac{9+4\sqrt{6}}{15}$

(7) $10$

(8) $\sqrt{3}-1$