(1) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。 (3) ある整数$x$を4倍して15を加えた数が、1以上40以下であるような$x$の個数を求める。 (4) ある整数$x$を3倍した数と、$x$から4を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような$x$の個数を求める。 (5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合$A, B$を $A = \{x \mid x \le -2, 6 < x \}, B = \{x \mid |x| > 2 \}$ とする。このとき、集合$\overline{A \cup B}$に含まれる整数の個数を求める。ただし、$\overline{A \cup B}$は$A \cup B$の補集合を表す。

1. 問題の内容

(1) $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求める。

(3) ある整数$x$を4倍して15を加えた数が、1以上40以下であるような$x$の個数を求める。

(4) ある整数$x$を3倍した数と、$x$から4を引いて2倍した数を加えた数が、10以上30以下であるような$x$の個数を求める。

(5) 実数全体を全体集合とし、その部分集合$A, B$を $A = \{x \mid x \le -2, 6 < x \}, B = \{x \mid |x| > 2 \}$ とする。このとき、集合$\overline{A \cup B}$に含まれる整数の個数を求める。ただし、$\overline{A \cup B}$は$A \cup B$の補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy$ を利用する。

$x+y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

したがって、$x^2 + xy + y^2 = (\sqrt{5})^2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(3)

$4x + 15$ が1以上40以下なので、$1 \le 4x + 15 \le 40$

$1 - 15 \le 4x \le 40 - 15$

$-14 \le 4x \le 25$

$-\frac{14}{4} \le x \le \frac{25}{4}$

$-3.5 \le x \le 6.25$

$x$は整数なので、$x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$

よって、$x$は10個。

(4)

$3x + 2(x-4)$ が10以上30以下なので、$10 \le 3x + 2(x-4) \le 30$

$10 \le 3x + 2x - 8 \le 30$

$10 \le 5x - 8 \le 30$

$10 + 8 \le 5x \le 30 + 8$

$18 \le 5x \le 38$

$\frac{18}{5} \le x \le \frac{38}{5}$

$3.6 \le x \le 7.6$

$x$は整数なので、$x = 4, 5, 6, 7$

よって、$x$は4個。

(5)

$A = \{x \mid x \le -2, 6 < x \}$

$B = \{x \mid |x| > 2 \} = \{x \mid x < -2, 2 < x \}$

$A \cup B = \{x \mid x \le -2, 2 < x, 6 < x \} = \{x \mid x \le -2, 2 < x \}$

$\overline{A \cup B} = \{x \mid -2 < x \le 2 \}$

したがって、$\overline{A \cup B}$ に含まれる整数は $-1, 0, 1, 2$ の4個。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(3) 10個

(4) 4個

(5) 4個