与えられた等比数列の初項、公比、項数から、その数列の和Sを求める問題です。

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9. 次のような等比数列の和Sを求めよ。

**(1) 初項8, 公比2, 項数4**

**(2) 初項-4, 公比-3, 項数4**

1. **問題の内容**

与えられた等比数列の初項、公比、項数から、その数列の和Sを求める問題です。

2. **解き方の手順**

等比数列の和の公式を使います。

初項を $a$, 公比を $r$, 項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は以下の式で表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

**(1)**

* 初項 $a = 8$, 公比 $r = 2$, 項数 $n = 4$ を公式に代入します。

$S_4 = \frac{8(1-2^4)}{1-2} = \frac{8(1-16)}{-1} = \frac{8(-15)}{-1} = 8 \times 15 = 120$

**(2)**

* 初項 $a = -4$, 公比 $r = -3$, 項数 $n = 4$ を公式に代入します。

$S_4 = \frac{-4(1-(-3)^4)}{1-(-3)} = \frac{-4(1-81)}{4} = \frac{-4(-80)}{4} = 80$

3. **最終的な答え**

**(1)** 120

**(2)** 80

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0. 次の等比数列の和Sを求めよ。

**(1) 2, 2², 2³, 2⁴**

**(2) 2, -2², 2³, -2⁴,..., 2⁷**

**(3) 2, -6, 18,..., 2⋅(-3)⁵**

**(4) 3, 3⋅(1/2), 3⋅(1/2)²,..., 3⋅(1/2)⁵**

1. **問題の内容**

与えられた等比数列の各項から、その数列の和Sを求める問題です。

2. **解き方の手順**

等比数列の和の公式を使います。

初項を $a$, 公比を $r$, 項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は以下の式で表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

**(1)**

* 初項 $a = 2$, 公比 $r = 2$, 項数 $n = 4$ であることがわかります。

* $S_4 = \frac{2(1-2^4)}{1-2} = \frac{2(1-16)}{-1} = \frac{2(-15)}{-1} = 2 \times 15 = 30$

**(2)**

数列は $2, -2^2, 2^3, -2^4, 2^5, -2^6, 2^7$ であるので、

* 初項 $a = 2$, 公比 $r = -2$, 項数 $n = 7$ であることがわかります。

* $S_7 = \frac{2(1-(-2)^7)}{1-(-2)} = \frac{2(1-(-128))}{3} = \frac{2(129)}{3} = \frac{258}{3} = 86$

**(3)**

数列は $2, -6, 18, \dots, 2 \cdot (-3)^5$ です。

数列の一般項は $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ であり、最終項が $2 \cdot (-3)^5$ であることから、項数は $n=6$ であることがわかります。

* 初項 $a = 2$, 公比 $r = -3$, 項数 $n = 6$ であることがわかります。

* $S_6 = \frac{2(1-(-3)^6)}{1-(-3)} = \frac{2(1-729)}{4} = \frac{2(-728)}{4} = \frac{-1456}{4} = -364$

**(4)**

数列は $3, 3 \cdot \frac{1}{2}, 3 \cdot (\frac{1}{2})^2, \dots, 3 \cdot (\frac{1}{2})^5$ です。

数列の一般項は $a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ であり、最終項が $3 \cdot (\frac{1}{2})^5$ であることから、項数は $n=6$ であることがわかります。

* 初項 $a = 3$, 公比 $r = \frac{1}{2}$, 項数 $n = 6$ であることがわかります。

* $S_6 = \frac{3(1-(\frac{1}{2})^6)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{3(1-\frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{3(\frac{63}{64})}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{3 \cdot 63}{32} = \frac{189}{32}$

3. **最終的な答え**

**(1)** 30

**(2)** 86

**(3)** -364

**(4)** 189/32

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1. 次の等比数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。

**(1) 5, 15, 45, 135,...**

**(2) (1/6), (1/6)², (1/6)³, (1/6)⁴,...**

1. **問題の内容**

与えられた等比数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める問題です。

2. **解き方の手順**

等比数列の和の公式を使います。

初項を $a$, 公比を $r$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は以下の式で表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

**(1)**

* 初項 $a = 5$, 公比 $r = \frac{15}{5} = 3$ であることがわかります。

* $S_n = \frac{5(1-3^n)}{1-3} = \frac{5(1-3^n)}{-2} = \frac{-5(1-3^n)}{2} = \frac{5(3^n-1)}{2}$

**(2)**

* 初項 $a = \frac{1}{6}$, 公比 $r = \frac{(1/6)^2}{(1/6)} = \frac{1}{6}$ であることがわかります。

* $S_n = \frac{\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{6})^n)}{1-\frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{6})^n)}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{5} (1-(\frac{1}{6})^n) = \frac{1}{5}(1-(\frac{1}{6})^n) = \frac{1}{5}(1-\frac{1}{6^n}) = \frac{1}{5} - \frac{1}{5 \cdot 6^n}$

3. **最終的な答え**

**(1)** $\frac{5(3^n-1)}{2}$

**(2)** $\frac{1}{5}(1-(\frac{1}{6})^n)$