問題は2つあります。 (1) 関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ のグラフをCとする。Cをx軸方向に2, y軸方向に-4平行移動したときの関数を求める。 (2) 放物線 $y = x^2 - 8x + 12$ は、Cを原点について対称移動し、x軸方向へ平行移動したものである。 (3) 関数 $y = f(x)$ ($-2 \le x \le 2$) の値域を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ のグラフをCとする。Cをx軸方向に2, y軸方向に-4平行移動したときの関数を求める。

(2) 放物線 $y = x^2 - 8x + 12$ は、Cを原点について対称移動し、x軸方向へ平行移動したものである。

(3) 関数 $y = f(x)$ ($-2 \le x \le 2$) の値域を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x-1)^2 + 4$

グラフCは、頂点が $(1, 4)$ の上に凸な放物線です。

Cをx軸方向に2, y軸方向に-4平行移動すると、新しい頂点は $(1+2, 4-4) = (3, 0)$ になります。

したがって、平行移動後のグラフの式は $y = -(x-3)^2 + 0 = -(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$ となります。

(2)

放物線 $y = x^2 - 8x + 12$ を平方完成すると、$y = (x-4)^2 - 4$ となります。

グラフCの式は $y = -x^2 + 2x + 3$ でした。Cを原点について対称移動すると、$x \to -x$、$y \to -y$ となるので、$-y = -(-x)^2 + 2(-x) + 3$、すなわち、$y = x^2 + 2x + 3$ となります。

さらに、x軸方向に平行移動して $y = x^2 - 8x + 12$ となることを考えます。$y = (x-4)^2 - 4$ であり、$y = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$ をx軸方向に $p$ だけ平行移動すると、$y = (x-p+1)^2 + 2$ となります。

$(x-p+1)^2 + 2 = (x-4)^2 - 4$ から、$-p+1 = -4$なので、$p = 5$となり、x軸方向に5平行移動していることが分かります。

(3)

$f(x) = -(x-1)^2 + 4$ であり、$-2 \le x \le 2$ です。

軸 $x=1$ はこの範囲に含まれています。

$f(1) = 4$ が最大値です。

$f(-2) = -(-2-1)^2 + 4 = -9 + 4 = -5$

$f(2) = -(2-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$

したがって、$-5 \le f(x) \le 4$ が値域です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 6x - 9$

(2) 5

(3) $-5 \le y \le 4$