実数全体を全体集合とし、部分集合 A, B がそれぞれ $A = \{x | x \leq -2, 6 < x\}$, $B = \{x | x > 2\}$ で与えられたとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める問題です。ここで、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、部分集合 A, B がそれぞれ $A = \{x | x \leq -2, 6 < x\}$, $B = \{x | x > 2\}$ で与えられたとき、集合 $\overline{A \cup B}$ に含まれる整数の個数を求める問題です。ここで、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A$ と $B$ の和集合 $A \cup B$ を求めます。

$A = \{x | x \leq -2, 6 < x\}$ は、$x$ が $-2$ 以下または $6$ より大きい実数全体の集合です。

$B = \{x | x > 2\}$ は、$x$ が $2$ より大きい実数全体の集合です。

したがって、$A \cup B$ は、$x \leq -2$ または $x > 2$ を満たす実数全体の集合となります。

$A \cup B = \{x | x \leq -2, x > 2\}$

次に、$A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ を求めます。全体集合は実数全体なので、$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ に含まれない実数全体の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{x | -2 < x \leq 2\}$

$\overline{A \cup B}$ に含まれる整数は、$-1, 0, 1, 2$ の $4$ 個です。

3. 最終的な答え

4個