与えられた問題は、主にシグマ記号（$\Sigma$）に関するものです。具体的には、次の３つのタイプの問題があります。 (1) シグマで表された式を、具体的な和の形で書き出す。 (2) 和の形になっている式を、シグマ記号を用いて表す。 (3) シグマで表された数列の和を計算する。

1. 問題の内容

与えられた問題は、主にシグマ記号（$\Sigma$）に関するものです。具体的には、次の３つのタイプの問題があります。

(1) シグマで表された式を、具体的な和の形で書き出す。

(2) 和の形になっている式を、シグマ記号を用いて表す。

(3) シグマで表された数列の和を計算する。

2. 解き方の手順

35 (1) 次の式を和の形で表せ。

(a) $\sum_{k=1}^{7} 3k$

$k$に1から7までの整数を代入して足し合わせます。

$3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6) + 3(7) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21$

(b) $\sum_{k=1}^{5} 2 \cdot 3^{k-1}$

$k$に1から5までの整数を代入して足し合わせます。

$2 \cdot 3^{1-1} + 2 \cdot 3^{2-1} + 2 \cdot 3^{3-1} + 2 \cdot 3^{4-1} + 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^4 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162$

(c) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - k)$

$k$に1からnまでの整数を代入して足し合わせます。

$(1^2 - 1) + (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + ... + (n^2 - n) = (1-1) + (4-2) + (9-3) + ... + (n^2 - n) = 0 + 2 + 6 + ... + (n^2 - n)$

35 (2) 次の式を、記号$\Sigma$を用いて表せ。

(a) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$

これは$k^2$の$k=1$から$n$までの和なので、$\sum_{k=1}^{n} k^2$と表せます。

(b) $5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + ... + 5 \cdot 100$

これは$5k$の$k=1$から$100$までの和なので、$\sum_{k=1}^{100} 5k$と表せます。

(c) $7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39$

この数列は等差数列であり、初項が7、公差が4です。したがって、一般項は$7 + (k-1)4 = 4k + 3$です。項数は9なので、$\sum_{k=1}^{9} (4k + 3)$と表せます。

36 次の和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 10k = 10 \sum_{k=1}^{n} k = 10 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 5n(n+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (4k - 8) = 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 8 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 8n = 2n(n+1) - 8n = 2n^2 + 2n - 8n = 2n^2 - 6n = 2n(n-3)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (8k + 2) = 8 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2 = 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n = 4n(n+1) + 2n = 4n^2 + 4n + 2n = 4n^2 + 6n = 2n(2n+3)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (-4) = -4 \sum_{k=1}^{n} 1 = -4n$

3. 最終的な答え

35 (1) (a) $3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21$

(b) $2 + 6 + 18 + 54 + 162$

(c) $0 + 2 + 6 + ... + (n^2 - n)$

35 (2) (a) $\sum_{k=1}^{n} k^2$

(b) $\sum_{k=1}^{100} 5k$

(c) $\sum_{k=1}^{9} (4k + 3)$

36 (1) $5n(n+1)$

(2) $2n(n-3)$

(3) $2n(2n+3)$

(4) $-4n$