$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ ($x > 0$)のとき、$x + \frac{1}{x}$ および $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ ($x > 0$)のとき、$x + \frac{1}{x}$ および $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x}$の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$である。

また、$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$である。

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$より、$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$である。

したがって、$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 3$となり、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$となる。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5 + 2 = 7$である。

$x > 0$より、$x + \frac{1}{x} > 0$であるから、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$となる。

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$の値を求める。

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$である。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$より、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{7})^3 - 3\sqrt{7} = 7\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$となる。

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 4\sqrt{7}$