与えられた2次関数 $f(x) = -x^2 + (2a - 8)x + b$ について、以下の問いに答えます。 (1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求めます。 (2) $-1 \le x \le 3$ において $x = -1$ で最大値をとるときの $a$ の範囲を求めます。 (3) $-1 \le x \le 3$ において $x = -1$ で最小値をとるときの $a$ の範囲を求めます。 (4) 放物線 $y = f(x)$ の頂点が直線 $y = 2x + 3$ 上にあるとき、$b$ を $a$ で表します。さらに、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の正の部分が異なる2点で交わるような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = -x^2 + (2a - 8)x + b$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線 $y = f(x)$ の頂点の座標を求めます。

(2) $-1 \le x \le 3$ において $x = -1$ で最大値をとるときの $a$ の範囲を求めます。

(3) $-1 \le x \le 3$ において $x = -1$ で最小値をとるときの $a$ の範囲を求めます。

(4) 放物線 $y = f(x)$ の頂点が直線 $y = 2x + 3$ 上にあるとき、$b$ を $a$ で表します。さらに、放物線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の正の部分が異なる2点で交わるような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、平方完成を行います。

$f(x) = -(x^2 - (2a - 8)x) + b$

$f(x) = -(x - (a - 4))^2 + (a - 4)^2 + b$

$f(x) = -(x - (a - 4))^2 + a^2 - 8a + 16 + b$

よって、頂点の座標は $(a - 4, a^2 - 8a + 16 + b)$ です。

(2) $f(x)$ が $x=-1$ で最大値をとる条件は、軸 $x = a - 4$ が $-1 \le x \le 3$ の範囲の左端にあるか、または範囲に含まれている場合です。つまり、$a - 4 \ge 3$ または $-1 \le a - 4 \le 3$ であり、さらに $f'(-1)=0$も満たす必要があります。

$f'(x)=-2x+2a-8$

$f'(-1)=2+2a-8=2a-6$

$f'(-1)=0$より$a=3$

$a-4 \ge 3$ のとき、$a \ge 7$

$-1 \le a - 4 \le 3$ のとき、$3 \le a \le 7$

$f(x)$ が $x=-1$ で最大値をとる条件は軸が定義域の真ん中よりも右にあることなので、$a-4 \ge \frac{-1+3}{2}=1$ より、$a \ge 5$。

$f(-1) \ge f(3)$ が成り立つとき、$a$の値は-1と3の中間地点の$x=1$より右側に来る場合に当てはまります。

$f(-1)= -1 + (2a-8)(-1)+b = -1 - 2a+8+b=7-2a+b$

$f(3)=-9+(2a-8)(3)+b=-9+6a-24+b=-33+6a+b$

$f(-1) \ge f(3) より、7-2a+b \ge -33+6a+b$

$40 \ge 8a$

$5 \ge a$

よって、$a \le 5$。

したがって、$3 \le a \le 5$

$a \le 5$ と $a \ge 5$ は $a=5$ であり、軸は $x=a-4=1$ となり、$x=-1$ から $x=3$ は軸に対して非対称なので$a \lt 5$となります。$a \lt 5$

(3) $f(x)$ が $x=-1$ で最小値をとる条件は、軸 $x = a - 4$ が $-1 \le x \le 3$ の範囲の右端にあるか、または範囲に含まれている場合です。つまり、$a - 4 \le -1$ です。

$a - 4 \le -1$ より、$a \le 3$

$f(-1) \le f(3)$ が成り立つとき、$a$の値は-1と3の中間地点の$x=1$より左側に来る場合に当てはまります。

$f(-1) \le f(3) より、7-2a+b \le -33+6a+b$

$40 \le 8a$

$5 \le a$

$5 \le a \le 3$

$a \ge 5$ と $a \le 3$ を満たす $a$ は存在しません。軸の位置が定義域内にあるとき、$a > 3$である必要があります。

つまり、$3 \le a \le 7$ である必要があります。したがって、そのような$a$は存在しません。

(4) 頂点 $(a - 4, a^2 - 8a + 16 + b)$ が $y = 2x + 3$ 上にあるので、

$a^2 - 8a + 16 + b = 2(a - 4) + 3$

$a^2 - 8a + 16 + b = 2a - 8 + 3$

$a^2 - 8a + 16 + b = 2a - 5$

$b = -a^2 + 10a - 21$

$f(x) = -x^2 + (2a - 8)x - a^2 + 10a - 21$

$f(x) = 0$ となる正の解が2つ存在するためには、判別式 $D > 0$ かつ $軸 > 0$ かつ $f(0) < 0$ である必要があります。

$D = (2a - 8)^2 - 4(-1)(-a^2 + 10a - 21) = 4a^2 - 32a + 64 - 4a^2 + 40a - 84 = 8a - 20 > 0$

$8a > 20$

$a > \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$

軸は $a - 4 > 0$ より、$a > 4$

$f(0) = -a^2 + 10a - 21 < 0$

$a^2 - 10a + 21 > 0$

$(a - 3)(a - 7) > 0$

$a < 3$ または $a > 7$

以上より、$a > 7$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(a - 4, a^2 - 8a + 16 + b)$

ア：4

イ：8

ウ：16

エ：16

(2) $a$ の範囲：$a \lt 5$

オ：ア

カ：ク

(3) $a$ の範囲：$3 \le a \le 5$

キ：ウ

(4) $b = -a^2 + 10a - 21$

ケコ：10

サシ：21

$a$ の範囲：$a>7$

ス：い

セ：え