この問題は、二次方程式を解いたり、二次方程式の解から係数を求めたり、正方形の辺の長さを求める問題です。具体的には、以下の3つの大問があります。 [1] 4つの二次方程式を解きます。 (1) $(x+1)^2 = 12$ (2) $x^2 + 5x - 36 = 0$ (3) $2x^2 - 12x + 18 = 0$ (4) $3x^2 - 3x - 1 = 0$ [2] 二次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が -3, 5 のとき、aとbの値を求めます。 [3] 正方形の縦の長さを2cm短くし、横の長さを5cm長くした長方形の面積が、元の正方形の面積の2倍よりも50cm²小さくなるという条件から、正方形の一辺の長さを求めます。

1. 問題の内容

この問題は、二次方程式を解いたり、二次方程式の解から係数を求めたり、正方形の辺の長さを求める問題です。具体的には、以下の3つの大問があります。

[1] 4つの二次方程式を解きます。

(1) $(x+1)^2 = 12$

(2) $x^2 + 5x - 36 = 0$

(3) $2x^2 - 12x + 18 = 0$

(4) $3x^2 - 3x - 1 = 0$

[2] 二次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が -3, 5 のとき、aとbの値を求めます。

[3] 正方形の縦の長さを2cm短くし、横の長さを5cm長くした長方形の面積が、元の正方形の面積の2倍よりも50cm²小さくなるという条件から、正方形の一辺の長さを求めます。

2. 解き方の手順

[1] 二次方程式を解く。

(1) $(x+1)^2 = 12$

$x+1 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$x = -1 \pm 2\sqrt{3}$

(2) $x^2 + 5x - 36 = 0$

$(x+9)(x-4) = 0$

$x = -9, 4$

(3) $2x^2 - 12x + 18 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

(4) $3x^2 - 3x - 1 = 0$

解の公式を使用します。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

[2] 二次方程式の解から係数を求める。

解が -3 と 5 なので、$(x+3)(x-5) = 0$ となる。

展開すると、$x^2 - 2x - 15 = 0$

したがって、$a = -2$, $b = -15$

[3] 正方形の一辺の長さを求める。

(1) 正方形の一辺の長さを $x$ cm とする。

長方形の縦の長さは $x-2$ cm、横の長さは $x+5$ cm。

長方形の面積は $(x-2)(x+5)$ cm²。

正方形の面積は $x^2$ cm²。

長方形の面積は、正方形の面積の2倍よりも50cm²小さいので、

$(x-2)(x+5) = 2x^2 - 50$

(2) 上記の方程式を解く。

$x^2 + 3x - 10 = 2x^2 - 50$

$0 = x^2 - 3x - 40$

$0 = (x-8)(x+5)$

$x = 8, -5$

$x$ は長さを表すので、$x > 0$ より、$x = 8$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $x = -1 \pm 2\sqrt{3}$

(2) $x = -9, x = 4$

(3) $x = 3$

(4) $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

[2]

$a = -2, b = -15$

[3]

(1) $(x-2)(x+5) = 2x^2 - 50$

(2) 正方形の1辺の長さは 8 cm