次の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$ (2) $x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$

(2) $x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$

2. 解き方の手順

(1) 式を展開し、整理して因数分解を行います。

$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc$

$= a(b^2+2bc+c^2) + b(c^2+2ca+a^2) + c(a^2+2ab+b^2) - 4abc$

$= ab^2+2abc+ac^2 + bc^2+2abc+ba^2 + ca^2+2abc+cb^2 - 4abc$

$= ab^2+ac^2 + bc^2+ba^2 + ca^2+cb^2 + 2abc$

$= (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (bc^2 + cb^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2+(b+c)a+bc]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(2) 式を展開し、整理して因数分解を行います。

$x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$

$= xy^2-xz^2+yz^2-yx^2+zx^2-zy^2$

$= xy^2-xz^2+yz^2-yx^2+zx^2-zy^2$

$=(y^2-z^2)x+(-y+z)x^2+yz^2-zy^2$

$=(y^2-z^2)x-y x^2+z x^2+yz^2-zy^2$

$=(y-z)(y+z)x-(y-z)(y-z)x^2+yz(z-y)$

$=(y-z)(y+z)x-(y-z)x^2-zy(y-z)$

$=(y-z)(x(y+z) - x^2 - yz)$

$=(y-z)(xy+xz-x^2-yz)$

$=(y-z)(x(y-x)+z(x-y))$

$=(y-z)(x(y-x)-z(y-x))$

$=(y-z)(y-x)(x-z)$

$=-(x-y)(y-z)(z-x)$

$=(x-y)(z-y)(x-z)$

$=-(x-y)(y-z)(x-z)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(x-y)(y-z)(z-x)$

または

(2) $(x-y)(z-y)(x-z)$