与えられた式 $(x+1)(x-1)(x+2)(x+4)+8$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x-1)(x+2)(x+4)+8$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 式のペアを作る

$(x+1)$ と $(x-1)$、$(x+2)$ と $(x+4)$ をそれぞれペアにします。

$(x+1)(x-1)$ を先に計算し、$(x+2)(x+4)$ を次に計算します。

$(x+1)(x-1)$ は和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

ステップ2: ペアごとの計算

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x+2)(x+4) = x^2 + 4x + 2x + 8 = x^2 + 6x + 8$

ステップ3: 式を置き換える

$(x+1)(x-1)(x+2)(x+4)+8 = (x^2 - 1)(x^2 + 6x + 8) + 8$

ステップ4: 展開する

$(x^2 - 1)(x^2 + 6x + 8) = x^4 + 6x^3 + 8x^2 - x^2 - 6x - 8 = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 8$

ステップ5: 最後に $+8$ を加える

$x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x - 8 + 8 = x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x$

ステップ6: 因数分解をする

$x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x = x(x^3 + 6x^2 + 7x - 6)$

3. 最終的な答え

$x(x^3 + 6x^2 + 7x - 6)$

あるいは、展開した形として

$x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x$