与えられた問題は、いくつかの独立した小問から構成されています。各小問は、不等式、循環小数、絶対値方程式、無理数の計算といった異なる数学の概念を扱っています。解答群から適切な選択肢を選ぶ形式です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、いくつかの独立した小問から構成されています。各小問は、不等式、循環小数、絶対値方程式、無理数の計算といった異なる数学の概念を扱っています。解答群から適切な選択肢を選ぶ形式です。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $\frac{3x-4}{4} < \frac{4x+3}{6}$ を解く。

まず、両辺に12を掛けて分母を払う。

$3(3x-4) < 2(4x+3)$

$9x - 12 < 8x + 6$

$x < 18$

正の整数xの個数は1から17までの17個である。よって、1の答えはウ。

(2) 循環小数 $0.\dot{1}2\dot{3}$ を既約分数で表す。

$x = 0.\dot{1}2\dot{3}$ とおくと、

$1000x = 123.\dot{1}2\dot{3}$

$1000x - x = 123.\dot{1}2\dot{3} - 0.\dot{1}2\dot{3}$

$999x = 123$

$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

よって、2の答えはオ。

(3) 方程式 $|3x-1| = x$ を解く。

場合分けをする。

(i) $3x-1 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge \frac{1}{3}$ のとき、

$3x-1 = x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

これは $x \ge \frac{1}{3}$ を満たす。

(ii) $3x-1 < 0$ のとき、つまり $x < \frac{1}{3}$ のとき、

$-(3x-1) = x$

$-3x+1 = x$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

これは $x < \frac{1}{3}$ を満たす。

したがって、解は $x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$

解答群を見ると、アに $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ があるので、3の答えはア。

(4) $a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, $b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ のとき、$ab$と$a+b$を求める。

$ab = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{16 \cdot 3}{5-2} = \frac{48}{3} = 16$

$a+b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + 4\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{4\sqrt{3}(2\sqrt{5})}{3} = \frac{8\sqrt{15}}{3}$

よって、4の答えはイ、5の答えはウ。

3. 最終的な答え

1: ウ

2: オ

3: ア

4: イ

5: ウ