## 問題 37

## 問題 37

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1. 問題の内容

問題37では、以下の3つの数列の和を求める必要があります。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 12k^2$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2)$

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2. 解き方の手順

(1)

定数倍の性質と、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 12k^2 = 12 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 12 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 2n(n+1)(2n+1)$

(2)

展開してから、$\sum_{k=1}^{n} k$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 4k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) = n(n+1)(2n+1-2) = n(n+1)(2n-1)$

(3)

展開してから、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 6) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 6$

$\sum_{k=1}^{n} 6 = 6n$

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 6n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 36n}{6} = \frac{n[(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 36]}{6} = \frac{n(2n^2 + 4n + 1 + 3n + 3 - 36)}{6} = \frac{n(2n^2 + 7n - 32)}{6}$

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3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} 12k^2 = 2n(n+1)(2n+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 2k(3k-2) = n(n+1)(2n-1)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) = \frac{n(2n^2 + 7n - 32)}{6}$

## 問題 38

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1. 問題の内容

問題38では、以下の2つの数列の和を求める必要があります。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \{2(3k+1)-3\}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$

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2. 解き方の手順

(1)

整理してから、$\sum_{k=1}^{n} k$ と $\sum_{k=1}^{n} 1$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} \{2(3k+1)-3\} = \sum_{k=1}^{n} (6k + 2 - 3) = \sum_{k=1}^{n} (6k - 1) = 6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = 3n(n+1) - n = 3n^2 + 3n - n = 3n^2 + 2n = n(3n+2)$

(2)

展開してから、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$ を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

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3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} \{2(3k+1)-3\} = n(3n+2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ または $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$