数列 $20, 18, 12, 2, -12, -30, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $20, 18, 12, 2, -12, -30, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求めます。

* $18 - 20 = -2$

* $12 - 18 = -6$

* $2 - 12 = -10$

* $-12 - 2 = -14$

* $-30 - (-12) = -18$

階差数列は $-2, -6, -10, -14, -18, \dots$ となります。これは等差数列であり、その公差は $-4$ です。

したがって、階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = -2 + (n-1)(-4) = -2 - 4n + 4 = 2 - 4n$

数列 $a_n$ の一般項を求めるには、階差数列の和の公式を利用します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 20$ であり、$b_k = 2 - 4k$ なので、

$a_n = 20 + \sum_{k=1}^{n-1} (2 - 4k) = 20 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 - 4\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2(n-1) = 2n - 2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、

$a_n = 20 + (2n - 2) - 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 20 + 2n - 2 - 2(n^2 - n) = 18 + 2n - 2n^2 + 2n = -2n^2 + 4n + 18$

3. 最終的な答え

$a_n = -2n^2 + 4n + 18$