与えられた数列 $\{a_n\}$: 6, 3, 2, 3, 6, 11, ... の一般項を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 6, 3, 2, 3, 6, 11, ... の一般項を求める。

2. 解き方の手順

階差数列を考える。数列の各項の差を計算する:

3 - 6 = -3

2 - 3 = -1

3 - 2 = 1

6 - 3 = 3

11 - 6 = 5

階差数列は -3, -1, 1, 3, 5, ... となる。

さらに階差数列を計算する:

-1 - (-3) = 2

1 - (-1) = 2

3 - 1 = 2

5 - 3 = 2

2回目の階差数列がすべて2であることから、元の数列 $\{a_n\}$ は3次式で表せると予想される。

つまり、$a_n = An^2 + Bn + C$ の形を仮定できる。

n = 1 のとき, $a_1 = 6$ なので $A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 6$

n = 2 のとき, $a_2 = 3$ なので $A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 3$

n = 3 のとき, $a_3 = 2$ なので $A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 2$

これらの連立方程式を解く。

(2) - (1) より $3A + B = -3$

(3) - (2) より $5A + B = -1$

(5) - (4) より $2A = 2$ なので $A = 1$

(4) に代入して $3(1) + B = -3$ なので $B = -6$

(1) に代入して $1 - 6 + C = 6$ なので $C = 11$

したがって、$a_n = n^2 - 6n + 11$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 6n + 11$