与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は 7, 13, 15, 13, 7, -3, ... となっています。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は 7, 13, 15, 13, 7, -3, ... となっています。

2. 解き方の手順

与えられた数列の階差数列を計算してみます。

階差数列は、13 - 7 = 6, 15 - 13 = 2, 13 - 15 = -2, 7 - 13 = -6, -3 - 7 = -10, ...となります。

この階差数列は等差数列ではないようなので、さらに階差数列をとってみます。

2 - 6 = -4, -2 - 2 = -4, -6 - (-2) = -4, -10 - (-6) = -4, ...となります。

2回目の階差数列が一定値 -4 になっているので、元の数列は3次式で表されると予想できます。

$a_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$ とおきます。

$a_1 = A + B + C + D = 7$

$a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 13$

$a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 15$

$a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 13$

この連立方程式を解きます。

$a_2 - a_1 = 7A + 3B + C = 6$

$a_3 - a_2 = 19A + 5B + C = 2$

$a_4 - a_3 = 37A + 7B + C = -2$

$(a_3 - a_2) - (a_2 - a_1) = 12A + 2B = -4$

$(a_4 - a_3) - (a_3 - a_2) = 18A + 2B = -4$

したがって、$12A + 2B = -4$ かつ $18A + 2B = -4$。

これらの式から、$6A = 0$ なので、$A = 0$ となります。

すると、$2B = -4$ となり、$B = -2$ となります。

$7A + 3B + C = 6$ に代入すると、$7(0) + 3(-2) + C = 6$ なので、$-6 + C = 6$ となり、$C = 12$ となります。

$A + B + C + D = 7$ に代入すると、$0 - 2 + 12 + D = 7$ なので、$10 + D = 7$ となり、$D = -3$ となります。

よって、$a_n = -2n^2 + 12n - 3$ となります。

$a_1 = -2(1)^2 + 12(1) - 3 = -2 + 12 - 3 = 7$

$a_2 = -2(2)^2 + 12(2) - 3 = -8 + 24 - 3 = 13$

$a_3 = -2(3)^2 + 12(3) - 3 = -18 + 36 - 3 = 15$

$a_4 = -2(4)^2 + 12(4) - 3 = -32 + 48 - 3 = 13$

$a_5 = -2(5)^2 + 12(5) - 3 = -50 + 60 - 3 = 7$

$a_6 = -2(6)^2 + 12(6) - 3 = -72 + 72 - 3 = -3$

3. 最終的な答え

$a_n = -2n^2 + 12n - 3$