与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。 $2\{\frac{1}{(x-5)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-4)}\}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。

$2\{\frac{1}{(x-5)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-4)}\}$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中の分数の差を求めます。そのためには、共通分母を見つける必要があります。共通分母は $(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)$です。

$\frac{1}{(x-5)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-4)} = \frac{(x-2)(x-4) - (x-5)(x-3)}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)}$

次に、分子を展開します。

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

$(x-5)(x-3) = x^2 - 8x + 15$

分子の差を計算します。

$(x^2 - 6x + 8) - (x^2 - 8x + 15) = x^2 - 6x + 8 - x^2 + 8x - 15 = 2x - 7$

したがって、

$\frac{(x-2)(x-4) - (x-5)(x-3)}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)} = \frac{2x-7}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)}$

最後に、この結果に2を掛けます。

$2\{\frac{1}{(x-5)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-4)}\} = 2 \cdot \frac{2x-7}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)} = \frac{2(2x-7)}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)}$

よって、

$\frac{4x-14}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x-14}{(x-5)(x-3)(x-2)(x-4)}$