5つの問題があり、それぞれに適する答えを解答群から選ぶ問題です。 (1) 放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が $x$ 軸に接するときの定数 $a$ の値を求めます ($a > 0$)。 (2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求めます。 (3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

5つの問題があり、それぞれに適する答えを解答群から選ぶ問題です。

(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が $x$ 軸に接するときの定数 $a$ の値を求めます ($a > 0$)。

(2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求めます。

(3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が $x$ 軸に接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$D = 2^2 - 4(1)(a^2 - 4) = 4 - 4a^2 + 16 = 20 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 20$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a > 0$ なので、$a = \sqrt{5}$。

したがって、答えはエ。

(2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるとき、

$x^2 - 5x + 2 = kx + 1$

$x^2 - (5+k)x + 1 = 0$

判別式 $D = (5+k)^2 - 4(1)(1) = (5+k)^2 - 4 = 0$

$(5+k)^2 = 4$

$5+k = \pm 2$

$k = -5 \pm 2$

$k = -3, -7$

$D>0$のとき異なる２つの解を持つので、

$k < -7, -3 < k$ となる。

したがって、答えはエ。

(3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、判別式 $D < 0$ となります。

$D = a^2 - 4(1)(a+3) = a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a-6)(a+2) < 0$

$-2 < a < 6$

したがって、答えはア。

(4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ を考えます。

$x \ge 1$ のとき、$(x+2)(x-1) = x^2 + x - 2 = k$

$x < 1$ のとき、$(x+2)(1-x) = -x^2 - x + 2 = k$

$y = x^2 + x - 2$ ($x \ge 1$)

$y = -x^2 - x + 2$ ($x < 1$)

$y = x^2+x-2=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$

$x=1$ のとき $y=0$

$y = -x^2-x+2=-(x+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$

$x<1$ なので $x=1$で$y=0$

$x=-\frac{1}{2}$で$y=\frac{9}{4}$

$k = 0$ のとき、解は $x=1,-2$ なので2個

$0 < k < \frac{9}{4}$ のとき、解は3個

$k=\frac{9}{4}$ のとき、解は2個

$k > \frac{9}{4}$ のとき、解は1個

よって、実数解の個数が3個であるとき、$0 < k < \frac{9}{4}$ であり、実数解の個数が1個であるとき、$k > \frac{9}{4}$ となります。

したがって、4の答えはイ、5の答えはウ。

3. 最終的な答え

1: エ

2: エ

3: ア

4: イ

5: ウ