与えられた4次式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式の構造をよく見て、うまく組み合わせることで展開後の式を簡単にできるか考えます。定数項の和が等しくなるように $(x-1)(x-7)$と$(x-3)(x-5)$を組み合わせます。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$とおくと、式は次のようになります。

$(A + 7)(A + 15) + 15$

$= A^2 + 22A + 105 + 15$

$= A^2 + 22A + 120$

この2次式を因数分解します。足して22、掛けて120となる2つの数は10と12なので、

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

ここで、$A = x^2 - 8x$を代入します。

$(A + 10)(A + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$x^2 - 8x + 12$を因数分解できるか考えます。足して-8、掛けて12となる2つの数は-2と-6なので、

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

したがって、最終的な因数分解の結果は、

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x - 6)(x^2 - 8x + 10)$