初項が5、第4項が40で公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解きます。 (1) 一般項 $a_n$ を求めなさい。 (2) 初項から第6項までの和を求めなさい。

1. 問題の内容

初項が5、第4項が40で公比が正である等比数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解きます。

(1) 一般項 $a_n$ を求めなさい。

(2) 初項から第6項までの和を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号です。

問題文より、$a_1 = 5$ であり、$a_4 = 40$ であることがわかります。

したがって、$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 r^3$ より、

$40 = 5 r^3$

$r^3 = 8$

$r = 2$

公比は正であるため、$r=2$ となります。

よって、一般項 $a_n$ は、

$a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

(2) 初項から第6項までの和を求める。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$ で表されます。

初項から第6項までの和 $S_6$ は、

$S_6 = \frac{5(2^6 - 1)}{2-1} = \frac{5(64-1)}{1} = 5 \cdot 63 = 315$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$

(2) $315$