第2項が7、第6項が31である等差数列$\{a_n\}$について、以下の問題を解きます。 (1) 一般項$a_n$を求めます。 (2) 初項から第30項までの和を求めます。

1. 問題の内容

第2項が7、第6項が31である等差数列$\{a_n\}$について、以下の問題を解きます。

(1) 一般項$a_n$を求めます。

(2) 初項から第30項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一般項$a_n$を求めます。

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、第2項が7、第6項が31なので、以下の式が成り立ちます。

$a_2 = a + (2-1)d = a + d = 7$

$a_6 = a + (6-1)d = a + 5d = 31$

この2つの式から、$a$ と $d$ を求めます。

2つの式を引き算すると、

$(a + 5d) - (a + d) = 31 - 7$

$4d = 24$

$d = 6$

$d = 6$ を $a + d = 7$ に代入すると、

$a + 6 = 7$

$a = 1$

したがって、一般項は $a_n = a + (n-1)d = 1 + (n-1)6 = 1 + 6n - 6 = 6n - 5$ となります。

(2) 初項から第30項までの和を求めます。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表されます。

初項$a_1$は1であり、$n=30$のとき、$a_{30} = 6(30) - 5 = 180 - 5 = 175$ です。

したがって、初項から第30項までの和は、

$S_{30} = \frac{30}{2}(a_1 + a_{30}) = \frac{30}{2}(1 + 175) = 15(176) = 2640$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 6n - 5$

(2) 初項から第30項までの和: $2640$