与えられた6つの式を展開する問題です。 (1) $(a+b+4)(a+b-3)$ (2) $(x+2y-6)(x+2y-2)$ (3) $(a-b+5)^2$ (4) $(x+3y-7)^2$ (5) $(x+y+4)(x+y-4)$ (6) $(a-5b-8)(a-5b+8)$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を展開する問題です。

(1) $(a+b+4)(a+b-3)$

(2) $(x+2y-6)(x+2y-2)$

(3) $(a-b+5)^2$

(4) $(x+3y-7)^2$

(5) $(x+y+4)(x+y-4)$

(6) $(a-5b-8)(a-5b+8)$

2. 解き方の手順

(1) $a+b = A$ と置くと、式は $(A+4)(A-3)$ となります。

これを展開すると、

$A^2 + A - 12$

$A$ を元に戻すと、

$(a+b)^2 + (a+b) - 12$

$= a^2 + 2ab + b^2 + a + b - 12$

(2) $x+2y = B$ と置くと、式は $(B-6)(B-2)$ となります。

これを展開すると、

$B^2 - 8B + 12$

$B$ を元に戻すと、

$(x+2y)^2 - 8(x+2y) + 12$

$= x^2 + 4xy + 4y^2 - 8x - 16y + 12$

(3) $(a-b+5)^2$ を展開します。

$(a-b+5)(a-b+5) = a^2 -ab +5a -ba +b^2 -5b +5a -5b +25$

$= a^2 + b^2 + 25 -2ab + 10a - 10b$

(4) $(x+3y-7)^2$ を展開します。

$(x+3y-7)(x+3y-7) = x^2 +3xy -7x + 3xy + 9y^2 -21y -7x -21y + 49$

$= x^2 + 9y^2 + 49 + 6xy - 14x - 42y$

(5) $x+y=C$ と置くと、式は $(C+4)(C-4)$ となります。

これは和と差の積の公式 $A^2 - B^2$ を使えます。

$C^2 - 16$

$C$ を元に戻すと、

$(x+y)^2 - 16$

$= x^2 + 2xy + y^2 - 16$

(6) $a-5b = D$ と置くと、式は $(D-8)(D+8)$ となります。

これは和と差の積の公式 $A^2 - B^2$ を使えます。

$D^2 - 64$

$D$ を元に戻すと、

$(a-5b)^2 - 64$

$= a^2 - 10ab + 25b^2 - 64$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + 2ab + b^2 + a + b - 12$

(2) $x^2 + 4xy + 4y^2 - 8x - 16y + 12$

(3) $a^2 + b^2 + 25 -2ab + 10a - 10b$

(4) $x^2 + 9y^2 + 49 + 6xy - 14x - 42y$

(5) $x^2 + 2xy + y^2 - 16$

(6) $a^2 - 10ab + 25b^2 - 64$