実数 $a, b$ を係数とする2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの虚数解を持つ。1つの虚数解を $\alpha$ とすると、他の解は $2\alpha - 4 + 3i$ と表すことができる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ を係数とする2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの虚数解を持つ。1つの虚数解を $\alpha$ とすると、他の解は $2\alpha - 4 + 3i$ と表すことができる。このとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $2\alpha - 4 + 3i$ とする。

解と係数の関係より、

$\alpha + (2\alpha - 4 + 3i) = -a$

$\alpha(2\alpha - 4 + 3i) = b$

$a$ と $b$ は実数なので、$\alpha$ も虚数解であることから、$2\alpha - 4 + 3i$ も虚数解である。

$\alpha = p + qi$ ($p, q$ は実数、$q \neq 0$) とおくと、共役な複素数 $\overline{\alpha} = p - qi$ も解となる。

したがって、$2\alpha - 4 + 3i = \overline{\alpha}$ となる。

$2(p + qi) - 4 + 3i = p - qi$

$2p + 2qi - 4 + 3i = p - qi$

$(2p - 4) + (2q + 3)i = p - qi$

実部と虚部を比較すると、

$2p - 4 = p$

$2q + 3 = -q$

$p = 4$

$3q = -3$

$q = -1$

したがって、$\alpha = 4 - i$ である。

他の解は $\overline{\alpha} = 4 + i$ である。

解と係数の関係より、

$-a = \alpha + \overline{\alpha} = (4 - i) + (4 + i) = 8$

$b = \alpha\overline{\alpha} = (4 - i)(4 + i) = 16 - i^2 = 16 - (-1) = 17$

$a = -8$

$b = 17$

3. 最終的な答え

$a = -8$, $b = 17$