自然数 $n$ に対して、$S_n = 4^n - 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとき、$a_1$ と $n \geq 2$ のときの $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$S_n = 4^n - 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとき、$a_1$ と $n \geq 2$ のときの $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a_1$ は $S_1$ に等しいので、$a_1 = S_1 = 4^1 - 1 = 3$ となります。問題文には $a_1 = 1$ と書かれているので、これは間違いです。

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。$S_n = 4^n - 1$ なので、$S_{n-1} = 4^{n-1} - 1$ です。

したがって、

$a_n = (4^n - 1) - (4^{n-1} - 1)$

$a_n = 4^n - 4^{n-1}$

$a_n = 4 \cdot 4^{n-1} - 4^{n-1}$

$a_n = (4 - 1) \cdot 4^{n-1}$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$n \geq 2$ のとき、$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$