$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$と$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とします。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$と$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めます。

与えられた条件 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるので、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1$

$2\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

次に、$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求めます。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を計算します。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$を代入します。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

よって、$\sin\theta - \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であることを考慮します。

$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2} > 0$ より、$\theta$ が第1象限または第2象限にあることがわかります。

もし $\theta$ が第1象限にあれば、$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta > 0$ です。

もし $\theta$ が第2象限にあれば、$\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta < 0$ です。

また、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8} < 0$ であることから、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の符号が異なる必要があるので、$\theta$ は第2象限の角であることがわかります。

第2象限では $\sin\theta > 0$ であり、$\cos\theta < 0$ なので、$\sin\theta - \cos\theta > 0$ である必要があります。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$