2次方程式 $3x^2 - 5x + (-k + 2) = 0$ が2つの異なる虚数解を持つとき、$k$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 5x + (-k + 2) = 0$ が2つの異なる虚数解を持つとき、$k$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D < 0$ となることです。

与えられた2次方程式 $3x^2 - 5x + (-k + 2) = 0$ において、$a = 3$, $b = -5$, $c = -k + 2$ です。

判別式 $D$ は次のように計算できます。

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(-k + 2)$

$D = 25 - 12(-k + 2) = 25 + 12k - 24 = 12k + 1$

異なる2つの虚数解を持つためには、$D < 0$ である必要があります。

したがって、

$12k + 1 < 0$

$12k < -1$

$k < -\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$k < -\frac{1}{12}$