数列 $a_n$ が与えられており、その一般項が以下の式で表されています。この式を計算して、より簡単な形で $a_n$ を表すことを目指します。 $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2^{k-1} + 3)$

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が与えられており、その一般項が以下の式で表されています。この式を計算して、より簡単な形で $a_n$ を表すことを目指します。

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2^{k-1} + 3)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を分解します。

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2^{k-1}) + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

次に、それぞれのシグマを計算します。一つ目のシグマは等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} (-2^{k-1}) = - \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = - \sum_{k=0}^{n-2} 2^{k} = - \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = - \frac{1 - 2^{n-1}}{-1} = 1 - 2^{n-1}$

二つ目のシグマは $3$ を $n-1$ 回足し合わせるだけなので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1) = 3n - 3$

したがって、

$a_n = 1 + (1 - 2^{n-1}) + (3n - 3) = 1 + 1 - 2^{n-1} + 3n - 3 = 3n - 1 - 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3n - 2^{n-1} - 1$