$S_n = \sum_{k=1}^{n} i^{k}$ が与えられています。ここで、$i$は虚数単位です。以下の問題を解きます。 (1) $S_4$ と $S_8$ を求めます。 (2) $m$ を自然数とするとき、$S_{4m}$ を $m$ で表します。 (3) $S_{2011}$ を求めます。

1. 問題の内容

$S_n = \sum_{k=1}^{n} i^{k}$ が与えられています。ここで、$i$は虚数単位です。以下の問題を解きます。

(1) $S_4$ と $S_8$ を求めます。

(2) $m$ を自然数とするとき、$S_{4m}$ を $m$ で表します。

(3) $S_{2011}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $S_4$ と $S_8$ を求めます。

$S_4 = i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$

$S_8 = i^1 + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 + i^6 + i^7 + i^8 = i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 = 0$

(2) $m$ を自然数とするとき、$S_{4m}$ を $m$ で表します。

$S_{4m} = \sum_{k=1}^{4m} i^k = \sum_{k=1}^{4} i^k + \sum_{k=5}^{8} i^k + \dots + \sum_{k=4m-3}^{4m} i^k$

各4つの項の和は0になるため、$S_{4m} = 0$

(3) $S_{2011}$ を求めます。

$S_{2011} = \sum_{k=1}^{2011} i^k$

$2011 = 4 \times 502 + 3$ なので

$S_{2011} = S_{4 \times 502 + 3} = S_{4 \times 502} + i^{2009} + i^{2010} + i^{2011}$

$S_{4 \times 502} = 0$ より、

$S_{2011} = i^{2009} + i^{2010} + i^{2011} = i^{4 \times 502 + 1} + i^{4 \times 502 + 2} + i^{4 \times 502 + 3} = i^1 + i^2 + i^3 = i - 1 - i = -1$

3. 最終的な答え

(1) $S_4 = 0$, $S_8 = 0$

(2) $S_{4m} = 0$

(3) $S_{2011} = -1$