与えられた式 $(a-2)(a+1)^2(a+4)$ を展開して整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-2)(a+1)^2(a+4)$ を展開して整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+1)^2$ を展開します。

$(a+1)^2 = (a+1)(a+1) = a^2 + 2a + 1$

次に、$(a-2)(a+4)$ を展開します。

$(a-2)(a+4) = a^2 + 4a - 2a - 8 = a^2 + 2a - 8$

すると、与えられた式は $(a^2 + 2a - 8)(a^2 + 2a + 1)$ となります。

ここで、$A = a^2 + 2a$ と置くと、式は $(A - 8)(A + 1)$ となります。

$(A - 8)(A + 1) = A^2 + A - 8A - 8 = A^2 - 7A - 8$

$A = a^2 + 2a$ を代入して戻します。

$(a^2 + 2a)^2 - 7(a^2 + 2a) - 8 = (a^4 + 4a^3 + 4a^2) - (7a^2 + 14a) - 8$

$= a^4 + 4a^3 + 4a^2 - 7a^2 - 14a - 8$

$= a^4 + 4a^3 - 3a^2 - 14a - 8$

3. 最終的な答え

$a^4 + 4a^3 - 3a^2 - 14a - 8$