$0 \le x \le 2$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表しなさい。

了解しました。画像にある発展問題について解いていきます。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2$ のとき、2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

これは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域が $0 \le x \le 2$ であることを考慮して、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少であるため、$x = 0$ で最小値をとります。

$m = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸 $x = a$ が定義域内にあるため、$x = a$ で最小値をとります。

$m = (a - a)^2 - a^2 + 1 = -a^2 + 1$

(iii) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加であるため、$x = 2$ で最小値をとります。

$m = 2^2 - 2a(2) + 1 = 4 - 4a + 1 = -4a + 5$

したがって、最小値 $m$ は次のようになります。

$m = \begin{cases}

1 & (a < 0) \\

-a^2 + 1 & (0 \le a \le 2) \\

-4a + 5 & (a > 2)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$m = \begin{cases}

1 & (a < 0) \\

-a^2 + 1 & (0 \le a \le 2) \\

-4a + 5 & (a > 2)

\end{cases}$