$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1$ $y = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1$ $y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1$ $y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$ したがって、頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ です。

## 問題の内容

$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ のとき、2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の最大値と最小値を求めます。

## 解き方の手順

1. **平方完成**: 与えられた2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$

したがって、頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ です。

2. **グラフの概形**: この2次関数のグラフは下に凸な放物線であり、軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

3. **定義域の確認**: 与えられた定義域 $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ の範囲内で、頂点が含まれていることを確認します。頂点の $x$ 座標 $\frac{1}{2}$ は、$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ の範囲に含まれています。

4. **最大値の候補**: 定義域の端点 $x = -\frac{1}{2}$ と $x = \frac{5}{2}$ での $y$ の値を計算します。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき:

$y = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right) + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2}$ のとき:

$y = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{5}{2}\right) + 1 = 2\left(\frac{25}{4}\right) - 5 + 1 = \frac{25}{2} - 4 = \frac{25}{2} - \frac{8}{2} = \frac{17}{2}$

5. **最小値の候補**: 頂点の $y$ 座標 $\frac{1}{2}$ が最小値の候補です。

6. **最大値と最小値の決定**:

$x = -\frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2}$ のとき $y = \frac{17}{2}$

頂点の $y$ 座標は $\frac{1}{2}$

したがって、最大値は $\frac{17}{2}$ であり、最小値は $\frac{1}{2}$ です。

## 最終的な答え

最大値: $\frac{17}{2}$

最小値: $\frac{1}{2}$