周囲の長さが24cmの長方形があり、その長い辺の長さを $x$ cmとします。この長方形の面積が20cm²以上32cm²以下となるような $x$ の範囲を求める問題です。

代数学二次不等式長方形面積不等式
2025/8/11

1. 問題の内容

周囲の長さが24cmの長方形があり、その長い辺の長さを xx cmとします。この長方形の面積が20cm²以上32cm²以下となるような xx の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、長方形の短い辺の長さを yy cmとします。長方形の周囲の長さは 2x+2y=242x + 2y = 24 なので、x+y=12x + y = 12 となります。これから、yyxx で表すと y=12xy = 12 - x となります。
長方形の面積は x×y=x(12x)x \times y = x(12 - x) です。この面積が20cm²以上32cm²以下であることから、次の不等式が成り立ちます。
20x(12x)3220 \le x(12 - x) \le 32
これを2つの不等式に分けて解きます。
(1) x(12x)20x(12 - x) \ge 20
12xx22012x - x^2 \ge 20
x212x+200x^2 - 12x + 20 \le 0
(x2)(x10)0(x - 2)(x - 10) \le 0
したがって、2x102 \le x \le 10
(2) x(12x)32x(12 - x) \le 32
12xx23212x - x^2 \le 32
x212x+320x^2 - 12x + 32 \ge 0
(x4)(x8)0(x - 4)(x - 8) \ge 0
したがって、x4x \le 4 または x8x \ge 8
(1)と(2)の両方を満たす xx の範囲を求めます。また、長方形の長い辺の長さを xx としているので、x>0x > 0 かつ xy=12xx \ge y = 12-x つまり、2x122x \ge 12 から x6x \ge 6である必要があります。
(1) 2x102 \le x \le 10 と (2) x4x \le 4 または x8x \ge 8 の共通範囲は 2x42 \le x \le 4 または 8x108 \le x \le 10 です。
さらに x6x \ge 6 という条件を加味すると、8x108 \le x \le 10 になります。
また、xx は長い辺なので、x12xx \ge 12-x より 2x122x \ge 12 であり、x6x \ge 6 でなければなりません。
よって、y=12xy = 12-x であることから、yy は必ず正の値をとる必要があります。
2x102 \le x \le 10x4x \le 4 or x8x \ge 8 から 2x42 \le x \le 4 , 8x108 \le x \le 10
またxyx \ge y より x12xx \ge 12-x なので、x6x \ge 6 。よって 8x108 \le x \le 10

3. 最終的な答え

8x108 \le x \le 10

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