数列 $a_n$ が $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ で定義されるとき、$a_n$ を簡単な式で表す。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ で定義されるとき、$a_n$ を簡単な式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ を計算する。これは初項が3、公比が3、項数が $n-1$ の等比数列の和である。等比数列の和の公式は、

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$$

である。したがって、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$$

となる。

よって、

$$a_n = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$$

となる。

3. 最終的な答え

$$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$$