数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$, $a_{2n+1} = 4 a_{2n} + 4(n+1)$ で定義されている。 (1) $a_2, a_3, a_4, a_5$を求めよ。 (2) $a_{2n}, a_{2n+1}$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $\{a_n\}$ の項で4の倍数でないものを、$n$ の値が小さいものから4項並べよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$, $a_{2n+1} = 4 a_{2n} + 4(n+1)$ で定義されている。

(1) $a_2, a_3, a_4, a_5$を求めよ。

(2) $a_{2n}, a_{2n+1}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $\{a_n\}$ の項で4の倍数でないものを、$n$ の値が小さいものから4項並べよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n=1$ のとき、$a_2 = \frac{1}{4} a_1 + 1^2 = \frac{1}{4} \times 4 + 1 = 1+1=2$

$n=1$ のとき、$a_3 = 4 a_2 + 4(1+1) = 4 \times 2 + 4 \times 2 = 8+8 = 16$

$n=2$ のとき、$a_4 = \frac{1}{4} a_3 + 2^2 = \frac{1}{4} \times 16 + 4 = 4+4 = 8$

$n=2$ のとき、$a_5 = 4 a_4 + 4(2+1) = 4 \times 8 + 4 \times 3 = 32+12 = 44$

(2)

まず、$a_{2n}$ と $a_{2n+1}$ を $n$ の式で表すことを目指す。

$a_2 = 2 = 2 \times 1$

$a_4 = 8 = 2 \times 4 = 2n^2$

$a_6 = \frac{1}{4} a_5 + 3^2 = \frac{1}{4} \times 44 + 9 = 11 + 9 = 20$

よって、$a_{2n} = 2n^2$ と仮定する。

$a_1 = 4$

$a_3 = 16 = 4(1+1+2) = 4(1+n+2)$. $a_3 = 4 \times 4 = 4(1+3)$

$a_5 = 44 = 4(1+2+3+4+1) = 4(1+2+3+5)$. $a_5 = 4(2+2+7) = 4(4n-3)$

$a_{2n+1} = 4 a_{2n} + 4(n+1)$ より、$a_{2n+1} = 4 \times 2n^2 + 4(n+1) = 8n^2 + 4n + 4 = 4(2n^2 + n + 1)$

$a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$ に代入すると、

$a_{2n} = \frac{1}{4} (8(n-1)^2 + 4(n-1) + 4) + n^2 = 2(n^2 - 2n + 1) + (n-1) + 1 + n^2 = 2n^2 - 4n + 2 + n - 1 + 1 + n^2 = 3n^2 -3n + 2 \ne 2n^2$

したがって、$a_{2n} = 2n^2, a_{2n+1} = 4(2n^2+n+1)$.

(1)で求めた値と矛盾しないことを確認する。

$n=1$のとき、$a_2 = 2 \times 1^2 = 2$, $a_3 = 4(2 \times 1^2 + 1 + 1) = 4 \times 4 = 16$

$n=2$のとき、$a_4 = 2 \times 2^2 = 8$, $a_5 = 4(2 \times 2^2 + 2 + 1) = 4(8 + 2 + 1) = 4 \times 11 = 44$

(3)

$a_1 = 4$ (4の倍数)

$a_2 = 2$ (4の倍数でない)

$a_3 = 16$ (4の倍数)

$a_4 = 8$ (4の倍数)

$a_5 = 44$ (4の倍数)

$a_6 = 2 \times 3^2 = 18$ (4の倍数でない)

$a_7 = 4(2 \times 3^2 + 3 + 1) = 4(18+3+1) = 4(22) = 88$ (4の倍数)

$a_8 = 2 \times 4^2 = 32$ (4の倍数)

$a_9 = 4(2 \times 4^2 + 4 + 1) = 4(32+4+1) = 4(37) = 148$ (4の倍数)

$a_{10} = 2 \times 5^2 = 50$ (4の倍数でない)

$a_{11} = 4(2 \times 5^2 + 5 + 1) = 4(50+5+1) = 4(56) = 224$ (4の倍数)

$a_{12} = 2 \times 6^2 = 72$ (4の倍数)

$a_{13} = 4(2 \times 6^2 + 6 + 1) = 4(72+6+1) = 4(79) = 316$ (4の倍数)

$a_{14} = 2 \times 7^2 = 98$ (4の倍数でない)

4の倍数でないものは $a_2=2, a_6=18, a_{10}=50, a_{14}=98$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_2=2$, $a_3=16$, $a_4=8$, $a_5=44$

(2) $a_{2n} = 2n^2$, $a_{2n+1} = 4(2n^2 + n + 1)$

(3) $a_2, a_6, a_{10}, a_{14}$