等式 $3x^2 + 8x + 2 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

等式 $3x^2 + 8x + 2 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開して整理します。

$a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)$

この式が $3x^2 + 8x + 2$ と恒等的に等しいので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数比較より、$a = 3$

$x$ の係数比較より、$2a + b = 8$

定数項の比較より、$a + b + c = 2$

$a = 3$ を $2a + b = 8$ に代入すると、

$2(3) + b = 8$

$6 + b = 8$

$b = 8 - 6 = 2$

$a = 3$ と $b = 2$ を $a + b + c = 2$ に代入すると、

$3 + 2 + c = 2$

$5 + c = 2$

$c = 2 - 5 = -3$

したがって、$a=3$, $b=2$, $c=-3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$

$c = -3$