数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$, $a_{2n+1} = 4a_{2n} + 4(n+1)$ で定義される。 (1) $a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めよ。 (2) $a_{2n}, a_{2n+1}$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $\{a_n\}$ の項で 4 の倍数でないものを、n の値が小さいものから4項並べよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 4$, $a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$, $a_{2n+1} = 4a_{2n} + 4(n+1)$ で定義される。

(1) $a_2, a_3, a_4, a_5$ を求めよ。

(2) $a_{2n}, a_{2n+1}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $\{a_n\}$ の項で 4 の倍数でないものを、n の値が小さいものから4項並べよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4, a_5$ を求める。

$a_2 = \frac{1}{4}a_1 + 1^2 = \frac{1}{4}(4) + 1 = 1 + 1 = 2$

$a_3 = 4a_2 + 4(1+1) = 4(2) + 4(2) = 8 + 8 = 16$

$a_4 = \frac{1}{4}a_3 + 2^2 = \frac{1}{4}(16) + 4 = 4 + 4 = 8$

$a_5 = 4a_4 + 4(2+1) = 4(8) + 4(3) = 32 + 12 = 44$

(2) $a_{2n}, a_{2n+1}$ を $n$ を用いて表す。

$a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$, $a_{2n+1} = 4a_{2n} + 4(n+1)$

$a_{2n+1} = 4 (\frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2) + 4(n+1) = a_{2n-1} + 4n^2 + 4n + 4$

ここで$a_{2n+1} - a_{2n-1} = 4n^2 + 4n + 4$

$a_1 = 4$なので

$a_3 - a_1 = 4(1^2) + 4(1) + 4 = 12$

$a_3 = a_1 + 12 = 4 + 12 = 16$

$a_5 - a_3 = 4(2^2) + 4(2) + 4 = 16 + 8 + 4 = 28$

$a_5 = a_3 + 28 = 16 + 28 = 44$

$a_{2n+1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 4)$

$a_{2n+1} = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k + 1)$

$a_{2n+1} = 4 + 4 (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + n)$

$a_{2n+1} = 4 + 4n (\frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n+1}{2} + 1)$

$a_{2n+1} = 4 + \frac{2}{3} n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + 4n$

$a_{2n+1} = \frac{2}{3} n (2n^2 + 3n + 1) + 2n^2 + 2n + 4n + 4$

$a_{2n+1} = \frac{4}{3} n^3 + 2n^2 + \frac{2}{3} n + 2n^2 + 6n + 4$

$a_{2n+1} = \frac{4}{3} n^3 + 4n^2 + \frac{20}{3} n + 4$

$a_{2n} = \frac{1}{4} a_{2n-1} + n^2$

$a_{2n} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} (n-1)^3 + 4(n-1)^2 + \frac{20}{3} (n-1) + 4) + n^2$

$a_{2n} = \frac{1}{3} (n-1)^3 + (n-1)^2 + \frac{5}{3} (n-1) + 1 + n^2$

$a_{2n} = \frac{1}{3} (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^2 - 2n + 1 + \frac{5}{3} n - \frac{5}{3} + 1 + n^2$

$a_{2n} = \frac{1}{3} n^3 - n^2 + n - \frac{1}{3} + 2n^2 - 2n + 1 + \frac{5}{3} n - \frac{5}{3} + n$

$a_{2n} = \frac{1}{3} n^3 + n^2 + \frac{2}{3} n - \frac{1}{3} + 1 - \frac{5}{3}$

$a_{2n} = \frac{1}{3} n^3 + n^2 + \frac{2}{3} n - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}n^3+n^2+\frac{2}{3}n - \frac{1}{3}-\frac{2}{3} + 1 -1 = \frac{1}{3} n^3 + n^2 + \frac{2}{3} n - \frac{1}{3}$

$a_{2n} = \frac{1}{3} n^3 + n^2 + \frac{2}{3} n - \frac{1}{3} - 1 = \frac{n^3+3n^2+2n-1}{3}$

(3) $\{a_n\}$ の項で 4 の倍数でないものを、n の値が小さいものから4項並べる。

$a_1 = 4$

$a_2 = 2$

$a_3 = 16$

$a_4 = 8$

$a_5 = 44$

$a_6 = \frac{1}{3} 3^3 + 3^2 + \frac{2}{3}3 - \frac{1}{3} = 9+9+2 - \frac{1}{3} = 20 \frac{2}{3}$ これは整数でないのでおかしい。

$a_6 = \frac{1}{4} a_5 + 3^2 = \frac{1}{4} (44) + 9 = 11+9 = 20$

$a_7 = 4a_6 + 4(3+1) = 4(20) + 16 = 80 + 16 = 96$

$a_8 = \frac{1}{4} a_7 + 4^2 = \frac{1}{4} (96) + 16 = 24 + 16 = 40$

$a_9 = 4 a_8 + 4(4+1) = 4(40) + 20 = 160 + 20 = 180$

$a_1 = 4$, $a_2 = 2$, $a_3 = 16$, $a_4 = 8$, $a_5 = 44$, $a_6 = 20$, $a_7 = 96$, $a_8 = 40$, $a_9 = 180$

4 の倍数でないものは $a_2 = 2$

$a_1=4$, $a_2 = 2$, $a_3 = 16$, $a_4 = 8$, $a_5 = 44$, $a_6=20$

4 の倍数でないのは、2, 44, 20の順。

$a_7 = 96$

$a_8 = 40$

$a_9 = 180$

$a_{10} = \frac{1}{4}a_9 + 5^2 = \frac{1}{4}(180) + 25 = 45+25 = 70$

よって4の倍数でないのは、2, 44, 20, 70

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 2$, $a_3 = 16$, $a_4 = 8$, $a_5 = 44$

(2) $a_{2n} = \frac{1}{3} n^3 + n^2 + \frac{2}{3} n$, $a_{2n+1} = \frac{4}{3} n^3 + 4n^2 + \frac{20}{3} n + 4$

(3) $a_2, a_5, a_6, a_{10}$ よって、2, 44, 20, 70