実数 $x, y$ について、命題「$x+y=5 \implies x=2$ かつ $y=3$」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ について、命題「$x+y=5 \implies x=2$ かつ $y=3$」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $p \implies q$ の形と見なします。ここで、$p$ は「$x+y=5$」、 $q$ は「$x=2$ かつ $y=3$」です。

(1) 逆: $q \implies p$

「$x=2$ かつ $y=3 \implies x+y=5$」

この命題の真偽を判定します。$x=2$ かつ $y=3$ のとき、$x+y = 2+3 = 5$ となり、$x+y=5$ が成り立ちます。したがって、逆は真です。

(2) 対偶: $\lnot q \implies \lnot p$

「$x \neq 2$ または $y \neq 3 \implies x+y \neq 5$」

この命題の真偽を判定します。$x=5$ かつ $y=0$ のとき、$x \neq 2$ または $y \neq 3$ は成り立ちますが、$x+y = 5+0 = 5$ となり、$x+y \neq 5$ は成り立ちません。したがって、対偶は偽です。

(3) 裏: $\lnot p \implies \lnot q$

「$x+y \neq 5 \implies x \neq 2$ または $y \neq 3$」

この命題の真偽を判定します。$x+y=0$ のとき，$x=2$かつ$y=3$は成り立ちません。したがって、$x \neq 2$ または $y \neq 3$が成り立ちます。

また、$x=0, y=0$であれば、$x+y=0 \neq 5$であり、$x \neq 2$または$y \neq 3$は成り立ちます。

この命題は真です。

3. 最終的な答え

* 逆: $x=2$ かつ $y=3 \implies x+y=5$ (真)

* 対偶: $x \neq 2$ または $y \neq 3 \implies x+y \neq 5$ (偽)

* 裏: $x+y \neq 5 \implies x \neq 2$ または $y \neq 3$ (真)