$(x+2)^5$ を展開したときの、$x^4$, $x^3$, $x^2$, $x$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+2)^5$ を展開したときの、$x^4$, $x^3$, $x^2$, $x$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^{n-k} a^k$

$(x+2)^5$ を展開すると、

$(x+2)^5 = {}_5 C_0 x^5 2^0 + {}_5 C_1 x^4 2^1 + {}_5 C_2 x^3 2^2 + {}_5 C_3 x^2 2^3 + {}_5 C_4 x^1 2^4 + {}_5 C_5 x^0 2^5$

${}_5 C_0 = 1$

${}_5 C_1 = 5$

${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

${}_5 C_4 = 5$

${}_5 C_5 = 1$

したがって、

$(x+2)^5 = x^5 + 5x^4 \times 2 + 10x^3 \times 4 + 10x^2 \times 8 + 5x \times 16 + 32$

$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

$x^4$の係数は10

$x^3$の係数は40

$x^2$の係数は80

$x$の係数は80

3. 最終的な答え

$x^4$の係数: 10

$x^3$の係数: 40

$x^2$の係数: 80

$x$の係数: 80