与えられた2次方程式 $x^2 - 2(a-3)x + a^2 - 12 = 0$ について、以下の3つの問題に答えます。 (1) $a = -4$ のときの解を求めます。 (2) 異なる2つの実数解を持つときの $a$ の範囲を求めます。 (3) (2)の条件に加えて、負の解のみを持つときの $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - 2(a-3)x + a^2 - 12 = 0$ について、以下の3つの問題に答えます。

(1) $a = -4$ のときの解を求めます。

(2) 異なる2つの実数解を持つときの $a$ の範囲を求めます。

(3) (2)の条件に加えて、負の解のみを持つときの $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = -4$ を与えられた方程式に代入し、解を求めます。

$x^2 - 2(-4-3)x + (-4)^2 - 12 = 0$

$x^2 + 14x + 16 - 12 = 0$

$x^2 + 14x + 4 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 16}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{180}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm 6\sqrt{5}}{2}$

$x = -7 \pm 3\sqrt{5}$

(2) 異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (-2(a-3))^2 - 4(a^2 - 12) > 0$

$4(a^2 - 6a + 9) - 4a^2 + 48 > 0$

$4a^2 - 24a + 36 - 4a^2 + 48 > 0$

$-24a + 84 > 0$

$-24a > -84$

$a < \frac{84}{24}$

$a < \frac{7}{2}$

(3) (2)の条件 $a < \frac{7}{2}$ に加えて、負の解のみを持つ条件を考えます。

解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である必要があります。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2(a-3) < 0$

$\alpha \beta = a^2 - 12 > 0$

$a - 3 < 0$ より $a < 3$

$a^2 - 12 > 0$ より $a^2 > 12$ なので、 $a < -2\sqrt{3}$ または $a > 2\sqrt{3}$

したがって、$a < -2\sqrt{3}$ または $2\sqrt{3} < a < 3$

$a < \frac{7}{2}$ と $a < -2\sqrt{3}$ または $2\sqrt{3} < a < 3$ を満たす $a$ の範囲は、

$a < -2\sqrt{3}$ または $2\sqrt{3} < a < 3$

ここで、$2\sqrt{3} \approx 3.464$ なので $2\sqrt{3} < a < 3$ は存在しません。

よって $a < -2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -7 \pm 3\sqrt{5}$

(2) $a < \frac{7}{2}$

(3) $a < -2\sqrt{3}$