数列の初項から第n項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 3n + 3$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の初項から第n項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 3n + 3$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて $a_n = S_n - S_{n-1}$ と表されます。$S_n = n^2 - 3n + 3$ なので、$S_{n-1}$ を計算します。

$S_{n-1} = (n-1)^2 - 3(n-1) + 3$

$S_{n-1} = n^2 - 2n + 1 - 3n + 3 + 3$

$S_{n-1} = n^2 - 5n + 7$

したがって、$a_n$ は次のようになります。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$a_n = (n^2 - 3n + 3) - (n^2 - 5n + 7)$

$a_n = n^2 - 3n + 3 - n^2 + 5n - 7$

$a_n = 2n - 4$

次に、初項 $a_1$ を計算します。$S_1 = a_1$ なので、$S_n$ に $n=1$ を代入します。

$S_1 = 1^2 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$

したがって、$a_1 = 1$ です。

$a_n = 2n - 4$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) - 4 = -2$ となります。

$a_1$ の値が一致しないので、$n=1$ のときだけ別の式で表す必要があります。

まとめると、

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 4$ ($n \geq 2$)

3. 最終的な答え

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 4$ ($n \geq 2$)